花下猫语：前不久，我应读者提问而写了一篇《Python 的整数与 Numpy 的数据溢出》，简要介绍过 Python 中的整数表示法与数据溢出问题。那篇文章的猎奇/科普成分更大些，文章简短，干货量不足。为了弥补，今天特分享一篇深度的文章，大家一起来学习吧！

作者：weapon

来源：https://zhuanlan.zhihu.com/p/37983326

前言

本次分析基于 CPython 解释器，python3.x 版本

在python2时代，整型有 int 类型和 long 长整型，长整型不存在溢出问题，即可以存放任意大小的整数。在python3后，统一使用了长整型。这也是吸引科研人员的一部分了，适合大数据运算，不会溢出，也不会有其他语言那样还分短整型，整型，长整型...因此python就降低其他行业的学习门槛了。

那么，不溢出的整型实现上是否可行呢？

不溢出的整型的可行性

尽管在 C 语言中，整型所表示的大小是有范围的，但是 python 代码是保存到文本文件中的，也就是说，python代码中并不是一下子就转化成 C 语言的整型的，我们需要重新定义一种数据结构来表示和存储我们新的“整型”。

怎么来存储呢，既然我们要表示任意大小，那就得用动态的可变长的结构，显然，数组的形式能够胜任:

 
 [longintrepr.h]
 struct _longobject {
 PyObject_VAR_HEAD
 int *ob_digit;
 };

长整型的保存形式

长整型在python内部是用一个 int 数组( ob_digit[n] )保存值的. 待存储的数值的低位信息放于低位下标, 高位信息放于高下标.比如要保存 123456789 较大的数字,但我们的int只能保存3位(假设):

 
 ob_digit[0] = 789;
 ob_digit[1] = 456;
 ob_digit[2] = 123;

低索引保存的是地位，那么每个 int 元素保存多大的数合适？有同学会认为数组中每个int存放它的上限(2^31 - 1)，这样表示大数时，数组长度更短，更省空间。但是，空间确实是更省了，但操作会代码麻烦，比方大数做乘积操作，由于元素之间存在乘法溢出问题，又得多考虑一种溢出的情况。

怎么来改进呢？在长整型的 ob_digit 中元素理论上可以保存的int类型有 32 位，但是我们只保存 15位，这样元素之间的乘积就可以只用 int 类型保存即可, 对乘积结果做位移操作就能得到尾部和进位 carry了，因此定义位移长度为 15：

 
 #define PyLong_SHIFT 15
 #define PyLong_BASE ((digit)1 << PyLong_SHIFT)
 #define PyLong_MASK ((digit)(PyLong_BASE - 1))

PyLong_MASK 也就是 0b111111111111111 ,通过与它做位运算 与 的操作就能得到低位数。

有了这种存放方式，在内存空间允许的情况下，我们就可以存放任意大小的数字了。

长整型的运算

加法与乘法运算都可以使用我们小学的竖式计算方法，例如对于加法运算:

为方便理解，表格展示的是数组中每个元素保存的是 3 位十进制数，计算结果保存在变量z中，那么 z 的数组最多只要 size_a + 1 的空间（两个加数中数组较大的元素个数 + 1），因此对于加法运算，处理过程就是各个对应位置的元素进行加法运算，计算过程就是竖式计算的方式:

 
 [longobject.c]
 static PyLongObject * x_add(PyLongObject *a, PyLongObject *b) {
 int size_a = len(a), size_b = len(b);
 PyLongObject *z;
 int i;
 int carry = 0; // 进位
 ?
 // 确保a是两个加数中较大的一个
 if (size_a < size_b) {
 // 交换两个加数
 swap(a, b);
 swap(&size_a, &size_b);
 }
 ?
 z = _PyLong_New(size_a + 1); // 申请一个能容纳size_a+1个元素的长整型对象
 for (i = 0; i < size_b; ++i) {
 carry += a->ob_digit[i] + b->ob_digit[i];
 z->ob_digit[i] = carry & PyLong_MASK; // 掩码
 carry >>= PyLong_SHIFT; // 移除低15位, 得到进位
 }
 for (; i < size_a; ++i) { // 单独处理a中高位数字
 carry += a->ob_digit[i];
 z->ob_digit[i] = carry & PyLong_MASK;
 carry >>= PyLong_SHIFT;
 }
 z->ob_digit[i] = carry;
 return long_normalize(z); // 整理元素个数
 ?
 }

这部分的过程就是，先将两个加数中长度较长的作为第一个加数，再为用于保存结果的 z 申请空间，两个加数从数组从低位向高位计算，处理结果的进位，将结果的低 15 位赋值给 z 相应的位置。最后的 long_normalize(z) 是一个整理函数，因为我们 z 申请了 a_size + 1 的空间，但不意味着 z 会全部用到，因此这个函数会做一些调整，去掉多余的空间，数组长度调整至正确的数量。

若不方便理解，附录将给出更利于理解的 python 代码。

竖式计算不是按个位十位来计算的吗，为什么这边用整个元素？

竖式计算方法适用与任何进制的数字，我们可以这样来理解，这是一个 32768 (2的15次方) 进制的，那么就可以把数组索引为 0 的元素当做是 “个位”，索引 1 的元素当做是 “十位”。

乘法运算

乘法运算一样可以用竖式的计算方式，两个乘数相乘，存放结果的 z 的元素个数为 size_a + size_b 即可：

这里需要主意的是，当乘数 b 用索引 i 的元素进行计算时，结果 z 也是从 i 索引开始保存。先创建 z 并初始化为 0，这 z 进行累加，加法运算则可以利用前面的 x_add 函数：

 
 // 为方便理解，会与cpython中源码部分稍有不同
 static PyLongObject * x_mul(PyLongObject *a, PyLongObject *b)
 {
 int size_a = len(a), size_b = len(b);
 PyLongObject *z = _PyLong_New(size_a + size_b);
 memset(z->ob_digit, 0, len(z) * sizeof(int)); // z 的数组清 0
 ?
 for (i = 0; i < size_b; ++i) {
 int carry = 0; // 用一个int保存元素之间的乘法结果
 int f = b->ob_digit[i]; // 当前乘数b的元素
 ?
 // 创建一个临时变量，保存当前元素的计算结果，用于累加
 PyLongObject *temp = _PyLong_New(size_a + size_b);
 memset(temp->ob_digit, 0, len(temp) * sizeof(int)); // temp 的数组清 0
 ?
 int pz = i; // 存放到临时变量的低位
 ?
 for (j = 0; j < size_a; ++j) {
 carry = f * a[j] + carry;
 temp[pz] = carry & PyLong_MASK; // 取低15位
 carry = carry >> PyLong_SHIFT; // 保留进位
 pz ++;
 }
 if (carry){ // 处理进位
 carry += temp[pz];
 temp[pz] = carry & PyLong_MASK;
 carry = carry >> PyLong_SHIFT;
 }
 if (carry){
 temp[pz] += carry & PyLong_MASK;
 }
 temp = long_normalize(temp);
 z = x_add(z, temp);
 }
 ?
 return z
 ?
 }

这大致就是乘法的处理过程，竖式乘法的复杂度是n^2，当数字非常大的时候（数组元素个数超过 70 个）时，python会选择性能更好，更高效的 Karatsuba multiplication 乘法运算方式，这种的算法复杂度是 3nlog3≈3n1.585，当然这种计算方法已经不是今天讨论的内容了。有兴趣的小伙伴可以去了解下。

总结

要想支持任意大小的整数运算，首先要找到适合存放整数的方式，本篇介绍了用 int 数组来存放，当然也可以用字符串来存储。找到合适的数据结构后，要重新定义整型的所有运算操作，本篇虽然只介绍了加法和乘法的处理过程，但其实还需要做很多的工作诸如减法，除法，位运算，取模，取余等。

python代码以文本形式存放，因此最后，还需要一个将字符串形式的数字转换成这种整型结构:

 
 [longobject.c]
 PyObject * PyLong_FromString(const char *str, char **pend, int base)
 {
 }

这部分不是本篇的重点，有兴趣的同学可以看看这个转换的过程，这个过程还是比较繁琐的，因为它还要处理进制问题,能够处理 0xfff3 或者 0b1011 等情况。

参考

longobject.cgithub.com

附录

 
 # 例子中的表格中，数组元素最多存放3位整数，因此这边设置1000
 # 对应的取低位与取高位也就变成对 1000 取模和取余操作
 PyLong_SHIFT = 1000
 PyLong_MASK = 999
 ?
 # 以15位长度的二进制
 # PyLong_SHIFT = 15
 # PyLong_MASK = (1 << 15) - 1
 ?
 def long_normalize(num):
 """
 去掉多余的空间，调整数组的到正确的长度
 eg: [176, 631, 0, 0] ==> [176, 631]
 :param num:
 :return:
 """
 end = len(num)
 while end >= 1:
 if num[end - 1] != 0:
 break
 end -= 1
 ?
 num = num[:end]
 return num
 ?
 def x_add(a, b):
 size_a = len(a)
 size_b = len(b)
 carry = 0
 ?
 # 确保 a 是两个加数较大的，较大指的是元素的个数
 if size_a < size_b:
 size_a, size_b = size_b, size_a
 a, b = b, a
 ?
 z = [0] * (size_a + 1)
 i = 0
 while i < size_b:
 carry += a[i] + b[i]
 z[i] = carry % PyLong_SHIFT
 carry //= PyLong_SHIFT
 i += 1
 ?
 while i < size_a:
 carry += a[i]
 z[i] = carry % PyLong_SHIFT
 carry //= PyLong_SHIFT
 i += 1
 z[i] = carry
 ?
 # 去掉多余的空间，数组长度调整至正确的数量
 z = long_normalize(z)
 ?
 return z
 ?
 def x_mul(a, b):
 size_a = len(a)
 size_b = len(b)
 z = [0] * (size_a + size_b)
 ?
 for i in range(size_b):
 carry = 0
 f = b[i]
 ?
 # 创建一个临时变量
 temp = [0] * (size_a + size_b)
 pz = i # 元素计算结果从 i 索引开始保存
 for j in range(size_a):
 carry += f * a[j]
 temp[pz] = carry % PyLong_SHIFT
 carry //= PyLong_SHIFT
 pz += 1
 ?
 if carry:
 carry += temp[pz]
 temp[pz] = carry % PyLong_SHIFT
 carry //= PyLong_SHIFT
 pz += 1
 ?
 if carry:
 temp[pz] += carry % PyLong_SHIFT
 temp = long_normalize(temp)
 z = x_add(z, temp)
 ?
 return z
 ?
 a = [543, 934, 23]
 b = [632, 454]
 print(x_add(a, b))
 print(x_mul(a, b))