n阶行列式的定义，挺复杂；涉及的概念有代数余子式，逆序数等等，不少细节。其实它就是把n元一次方程组的系数进行加减乘的某种组合。

当有了数学工具后，这些细节可以统统forget。只要关心应用就行 。

传统上的数学工具一般是指Matlab或者Methematica。有了Python的各种数学库，比如numpy，我们也可以把Python用做数学工具。

回到行列式，行列式最常见的一个应用就是用来判断线性方程组有没有解，称为克莱姆法则。

克莱姆法则：

n元一次方程组的系数行列式如果不等于0，则方程组有唯一解

我们举一个 5元1次方程组的应用题

任给5个数做为数列的前5项，是否存在满足条件的通项公式

u_n = a0 + a1*n + a2*n^2 + a3*n^3 + a4*n^4

解题思路：

把n= 1, 2, 3, 4, 5 分别带入公式，会 得到一个5元一次方程组：

a0 + a1 + a2 + a3 + a4 = u1
a0 + 2a1 + 4a2 + 8a3 + 16a4 = u2
a0 + 3a1 + 9a2 + 27a3 + 81a4 = u3
a0 + 4a1 + 16a2 + 64a3 + 256a4 = u4
a0 + 5a1 + 25a2 + 125a3 + 625a4 = u5

把方程组抽象成矩阵的形式：

AX = B

A就是系数矩阵

1 1 1 1 1
1 2 4 8 16
1 3 9 27 81
1 4 16 64 256
1 5 25 125 625

X 就是我们要求的多项式方程的系数构成的5行1列的矩阵

a0
a1
a2
a3
a4

B就是数列的前5项组成的 5行1列的矩阵

u1
u2
u3
u4
u5

假如 u1~u5 是 1, 2, 3, 4, 2013，求多项式的系数a0~a4

线性代数解题思路

• 首先计算A的行列式是否不等于0，用numpy的函数linalg.det()来计算；
• 如果det不等于0，则方程有唯一解，即系数矩阵A可逆；
• 然后用numpy的函数linalg.inv()来计算逆矩阵；
• 所以有：X = (A的逆矩阵)*B

Python程序

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
# A是系数矩阵
A = np.array([
[1, 1, 1, 1, 1],
[1, 2, 4, 8, 16],
[1, 3, 9, 27, 81],
[1, 4, 16, 64, 256],
[1, 5, 25, 125, 625]
])
# B是数列前5项组成的列矩阵
B = np.array([
1,
2,
3,
4,
2013
])
# X 是通项公式的系数组成的列矩阵 (a0,a1,a2,a3,a4)
# AX = B
# 首选计算A的行列式是否不等于0，用numpy的函数linalg.det()来计算
# 如果det不等于0，则方程有唯一解，即系数矩阵A可逆
# 然后用numpy的函数linalg.inv()来计算逆矩阵
# 所以有：X = (A的逆矩阵)*B
print("A:")
print(A)
#计算A的行列式det
print("A的行列式的 值：")
# 287.9999999999998
print(np.linalg.det(A))
#A的逆矩阵
A_inv = np.linalg.inv(A)
print("A的逆矩阵：")
print(A_inv)
#dot是矩阵乘法
X = np.dot(A_inv, B)
print("答案是：X=A的逆矩阵乘以B")
print(X)
#[ 2008. -4182.33333333 2928.33333333 -836.66666667 83.66666667]
#-------------------------------------------------------------------
# 用matplotlib绘制函数图
# 绘制原始数据的散点图
x = np.array([1, 2, 3, 4, 5])
y = np.array([1, 2, 3, 4, 2013])
plt.scatter(x,y)
#定义函数
# 定义1元4次函数
def f(x):
a0 = 2008
a1 = -4182.33333333
a2 = 2928.33333333
a3 = -836.66666667
a4 = 83.66666667
return a0 + a1 * x + a2 * (x**2) + a3 * (x**3) + a4 * (x**4)
# 函数 的 new_x 的取点
x = np.linspace(0, 6, 1000)
# 绘制函数图
# 绘制拟合出来的一元一次线性方程的图像
plt.plot(x, f(x), color = "blue")
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.title('Display func: f(x) = ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e')
plt.grid() # 显示网格
plt.show() # 显示图像

程序结果：

这个题，还有更简单的Python解法，就是用之前文章里提到的多项式拟合

多项式拟合

Python程序

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

#绘制原始数据的散点图
x = np.array([1, 2, 3, 4, 5])
y = np.array([1, 2, 3, 4, 2013])
plt.scatter(x,y)
#直接拟合
# 4次方程 的 多项式回归系数
coefs = np.polyfit(x,y,4)
# 多项式函数
poly = np.poly1d(coefs)
#
print("多项式 coefs：")
print(coefs)
# [ 83.66666667 -836.66666667 2928.33333333 -4182.33333333 2008. ]
# 创建数据点
# new_x
x = np.linspace(0, 6, 1000)
#y = f(x) # 对每个点计算y值

# 绘制拟合出来的一元一次线性方程的图像
plt.plot(x, poly(x), color = "blue")
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.title('Display func: f(x) = ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e')
plt.grid() # 显示网格
plt.show() # 显示图像

程序结果还是：