在之前的文章中，我们主要学习了几个与机器学习相关的Python库（numpy、pandas、matplotlib、seaborn），从本篇开始我们进入算法部分的学习，对于算法部分中涉及到的数学知识，请大家私下查阅。本篇文章我们主要掌握一些与机器学习有关的基础概念、并来看下线性回归模型的建立、推导和Python代码实现。

机器学习相关概念

统计模型：它是一组数学函数，它们用随机变量及其概率分布刻画目标类对象的行为。后面要讲的线性回归模型、决策树分类、朴素贝叶斯等都是一种统计模型。

监督学习（supervised learning）:也可称为有标签的学习，学习中的监督来及训练数据集中标记的实例。举个例子，有一批心脏病人的训练数据集，数据集特征有性别、年龄、体重等，标签列为是否二次患心脏病，那么通过已给定的标签值去寻找规律的学习就是监督学习，说的直白点就是有标签的学习。

无监督学习（unsupervised learning）：无标签的学习，本质上是聚类的同义词，学习过程中是无监督的，因为输入实例每一类别标记。比如，一个班级中有100个同学，根据每个人的特征分出男女生的过程就是个无监督的学习。

半监督学习（semi-supervised learning）：是一类机器学习技术，在学习模型时，它使用标记和未标记的实例。标记的实例用来学习类模型，而未标记的实例用来进一步改进类边界。

主动学习（active learning）：是一种机器学习方法，它让用户在学习过程中扮演主动角色。主动学习方法可能要去用户对一个可能来自未标记的实例集或由学习程序合成的实例进行标记。

线性回归

对于线性回归，我们还是拿个例子来讲。比如我们在办理信用卡时，银行会根据我们的工龄、收入、固定资产拥有等情况而给出相应的额度，这里我们简化问题，假设额度和个人的工龄和收入有关，那么将额度看做因变量，工龄和工资作为自变量，就有以下的线性方程是（式1）：

其中，hθ表示预测的额度，θ0是偏置项，大家可以理解为每个人的最低额度，θ1是工龄的系数，θ2是工资的系数。而机器学习的算法要做的是事情就是根据训练数据（实际已存在的）拟合出一个线性平面，使得空间中的点尽可能落在这个平面上。所以问题就转换根据训练数据计算特征系数的问题了，那么这个系数怎么求呢？首先，我们给式1的θ0乘以一个x0，并令x0=1,则得出式2：

式2就用矩阵乘法的形式表示了h0（额度）的值，而这是预测值，和实际值肯定是存在差异的，这里我们用ε表示，根据式2可以得到式3：

于是线性回归算法的问题被转换为求θ系数并且使得误差最小。那么如何使得误差最小呢，这里假设这个误差是独立且有相同的分布，且这个分布服从均值为0方差为θ^2的高斯分布。于是得到误差的分布式4：

将式4带入式3得到式5：

式5表示对于样本中每一个单独样本θ取某个值和样本值xi,yi组合的概率，由于样本集中有很多样本点，于是有得到似然函数（所有样本点都取那个值出现的概率）式6：

对于式6我们当然希望某个参数和我们的数据组合刚好是真实值，即似然函数的概率最大，为了求解方便，我们对似然函数两边取对数，得到式7：

对式7进行对数化简得到式8：

在式7中我们已经知道，要是求得的θ刚好使预测值等于真实值，那么就意味着似然函数取得最大值，由于式7中化简得到式8，所以问题就转换为使得式8中的后半部分取得最小，即最小二乘法，式9：

将式2带入式9，得到目标函数式10：

我们知道，如果使得使式10最小，就对它求导数，使得导数为0（即斜率为零，函数存在驻点，存在最值），由此得到θ的推导式11：

以上一些列的推导变化就是为了得到θ的表达式（表达式不再含未知数），看其他很绕，这里主要掌握两点，第一线性回归模型等式,第二最小二乘法（它通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配）。

Python代码实现

我们先看下训练数据集结构，代码如下：

import numpy as np
from sklearn import datasets
liner_data = datasets.load_diabetes()
liner_data

这里我们根据θ的推导式，定义一个线性回归类，并写出训练方法：

class LinearRegression():
 def __init__(self):
 self.θ = None
 def fit(self, X, y):
 X = np.insert(X, 0, 1, axis=1)
 X_ = np.linalg.inv(X.T.dot(X))
#这里求出θ值
 self.θ = X_.dot(X.T).dot(y) 
 def predict(self, X):
 X = np.insert(X, 0, 1, axis=1)
 y_pred = X.dot(self.θ)
 return y_predra

然后我们将数据传递到写好的训练函数中，训练出θ值并预测y值：

liner_data = datasets.load_diabetes()
X = liner_data.data[:, np.newaxis, 2]
#训练数据集，测试数据集
x_train, x_test = X[:-20], X[-20:]
y_train, y_test = liner_data.target[:-20], liner_data.target[-20:]
clf = LinearRegression()
#开始训练数据 
clf.fit(x_train, y_train)
#得出预测值
y_pred = clf.predict(x_test)

将预测得到的y值和对应的x值画出对应的图像，如下：

plt.scatter(x_test[:,0], y_test, color='black')
plt.plot(x_test[:,0], y_pred, color='blue', linewidth=3)
plt.show()

以上就是线性关于线性回归的内容，可以看到，其实Python实现线性回归的 代码很短，我们可以直接使用别人的也没有问题，但是我觉得们必须知道线性回归的推导过程是有必要的，其中涉及的数学基础（如导数、概率分布、矩阵乘法等）必须要掌握才能更好的理解线性回归算法。