Python的矩阵传播机制（Broadcasting）

我们知道在深度学习中经常要操作各种矩阵（matrix）。
回想一下，我们在操作数组（list）的时候，经常习惯于用for循环（for-loop）来对数组的每一个元素进行操作。例如：

my_list = [1,2,3,4]
new_list = []for each in my_list:
    new_list.append(each*2)
print(new_list)  # 输出 [2,3,4,5]

如果是矩阵呢:

my_matrix = [[1,2,3,4],
             [5,6,7,8]]
new_matrix = [[],[]]for i in range(2):        for j in range(4):
        new_matrix[i].append(my_matrix[i][j]*2)
print(new_matrix)# 输出 [[2, 4, 6, 8], [10, 12, 14, 16]]

实际上，上面的做法是十分的低效的！数据量小的话还不明显，如果数据量大了，尤其是深度学习中我们处理的矩阵往往巨大，那用for循环去跑一个矩阵，可能要你几个小时甚至几天。

Python考虑到了这一点，这也是本文主要想介绍的“Python的broadcasting”即传播机制。
先说一句，python中定义矩阵、处理矩阵，我们一般都用numpy这个库。

下面展示什么是python的传播机制：

import numpy as np# 先定义一个3×3矩阵 A：
A = np.array(
    [[1,2,3],
     [4,5,6],
     [7,8,9]]) 

print("A:\n",A)
print("\nA*2:\n",A*2) # 直接用A乘以2
print("\nA+10:\n",A+10) # 直接用A加上10

运行结果：

A:
 [[1 2 3]
 [4 5 6]
 [7 8 9]]

A*2:
 [[ 2  4  6]
 [ 8 10 12]
 [14 16 18]]

A+10:
 [[11 12 13]
 [14 15 16]
 [17 18 19]]

接着，再看看矩阵×（+）矩阵：

#定义一个3×1矩阵（此时也可叫向量了）
B = np.array([[10],
              [100],
              [1000]]) 
print("\nB:\n",B)
print("\nA+B:\n",A+B) 
print("\nA*B:\n",A*B)

运行结果：

B:
 [[  10]
 [ 100]
 [1000]]

A+B:
 [[  11   12   13]
 [ 104  105  106]
 [1007 1008 1009]]

A*B:
 [[  10   20   30]
 [ 400  500  600]
 [7000 8000 9000]]

可见，虽然A和B的形状不一样，一个是3×3，一个是3×1，但是我们在python中可以直接相加、相乘，相减相除也可以。

也许看到这，大家都对broadcasting有感觉了。
用一个图来示意一下：

所谓“传播”，就是把一个数或者一个向量进行“复制”，从而作用到矩阵的每一个元素上。

有了这种机制，那进行向量和矩阵的运算，就太方便了！
理解了传播机制，就可以随心所欲地对矩阵进行各种便捷的操作了。

利用numpy的内置函数对矩阵进行操作：

numpy内置了很多的数学函数，例如np.log(),np.abs(),np.maximum()等等上百种。直接把矩阵丢进去，就可以算出新矩阵！
示例：

print(np.log(A))

输出把A矩阵每一个元素求log后得到的新矩阵：

array([[0.        , 0.69314718, 1.09861229],
       [1.38629436, 1.60943791, 1.79175947],
       [1.94591015, 2.07944154, 2.19722458]])

再比如深度学习中常用的ReLU激活函数，就是y=max(0,x)，

也可以对矩阵直接运算：

X = np.array([[1,-2,3,-4],
              [-9,4,5,6]])
Y = np.maximum(0,X)
print(Y)

得到：

[[1 0 3 0]
 [0 4 5 6]]

更多的numpy数学函数，可以参见文档：
https://docs.scipy.org/doc/numpy-1.13.0/reference/routines.math.html

定义自己的函数来处理矩阵

其实这才是我写下本文的目的。。。前面扯了这么多，只是做个铺垫(/ω＼)

我昨天遇到个问题，就是我要对ReLU函数求导，易知，y=max(0,x)的导函数是：
y’ = 0 if x<0
y’ = 1 if x>0
但是这个y’（x）numpy里面没有定义，需要自己构建。
即，我需要将矩阵X中的小于0的元素变为0，大于0的元素变为1。
搞了好久没弄出来，后来在StackOverflow上看到了解决办法：

def relu_derivative(x):
    x[x<0] = 0
    x[x>0] = 1
    return x

X = np.array([[1,-2,3,-4],
              [-9,4,5,6]])

print(relu_derivative(X))

输出：

[[1 0 1 0]
 [0 1 1 1]]

居然这么简洁就出来了！！！ミ?Д?彡 (?Д?#)

这个函数relu_derivative中最难以理解的地方，就是x[x>0]了。
于是我试了一下：

X = np.array([[1,-2,3,-4],
              [-9,4,5,6]])
print(X[X>0])
print(X[X<0])

输出：

[1 3 4 5 6]
[-2 -4 -9]

它直接把矩阵X中满足条件的元素取了出来！原来python对矩阵还有这种操作！

震惊了我好久~
所以可以这么理解，X[X>0]相当于一个“选择器”，把满足条件的元素选出来，然后直接全部赋值。
用这种方法，我们便可以定义各种各样我们需要的函数，然后对矩阵整体进行更新操作了！

综上

可以看出，python以及numpy对矩阵的操作简直神乎其神，方便快捷又实惠。其实上面忘了写一点，那就是计算机进行矩阵运算的效率要远远高于用for-loop来运算，
不信可以用跑一跑：

# vetorization vs for loop
# define two arrays a, b:
a = np.random.rand(1000000)
b = np.random.rand(1000000)
# for loop version:
t1 = time.time()
c = 0for i in range(1000000):
    c += a[i]*b[i]
t2 = time.time()
print(c)
print("for loop version:"+str(1000*(t2-t1))+"ms")
time1 = 1000*(t2-t1)
# vectorization version:t1 = time.time()
c = np.dot(a,b)
t2 = time.time()
print(c)
print("vectorization version:"+str(1000*(t2-t1))+"ms")
time2 = 1000*(t2-t1)

print("vectorization is faster than for loop by "+str(time1/time2)+" times!")

运行结果：

249765.8415288075
for loop version:627.4442672729492ms
249765.84152880745
vectorization version:1.5032291412353516ms
vectorization is faster than for loop by 417.39762093576525 times!

可见，用for方法和向量化方法，计算结果是一样，但是后者比前者快了400多倍！
因此，在计算量很大的时候，我们要尽可能想办法对数据进行Vectorizing，即“向量化”，以便让计算机进行矩阵运算。