微实践 - 一对兔兔与函数的增长

数学家列昂纳多·斐波那契研究了野外兔子的繁殖问题：一般而言，兔子出生两个月后，就有繁殖能力。假设一对兔子每个月能生出一对小兔子而且所有兔子都不死。如果现在往一片没有兔子的新大陆上放生一对新生的兔子，那么一年以后那个大陆上有多少只兔子？两年以后呢？

第1个月，那对兔子还没有繁殖能力，仍为幼兔。故幼兔数量为1对，成兔数量为0对，总对数为1；

第2个月，那对兔子性成熟，变成成兔。故幼兔数量为0对，成兔数量为1对，总对数为1；

第3个月，2月时的成兔1对，生了1对小兔子，故幼兔1对，成兔1对，总对数为2；

第4个月，3月时的成兔1对生了1对小兔子，且3月时的幼兔1对变成了成兔，故幼兔数量为1对，成兔变成了2对，总对数为3...

简单归纳，容易导出下述结论：

幼免对数 = 前月成兔对数 （每对成兔每月生一对小兔子）

成兔对数 = 前月成兔对数 （成兔不死） + 前月幼兔对数（前月的幼兔长大变成成兔）

总对数 = 幼兔对数 + 成兔对数

观察上述表格，可以发现，上述三行数据，在1,1后的每一个数字，都正好等于前两个数字之和。2 = 1 + 1, 3 = 1+2, 5 = 2 + 3... 89 = 34 + 55...

本文节选自作者的《Python编程基础及应用》视频教程。

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斐波那契对上述规律进行总结和形式化，得到关于n个月后兔子数量的通项公式如下，这是一个分段函数。

读者希望知道10年，也就是120个月之后的兔子数量吗？ 我们来计算一下。

[fib1.py]
def fibonacci(n):
    if n <= 2:
        return 1
    a,b = 1,1           #最近两项的值，a为前前项，b为前项
    for x in range(3,n+1):
        v = a + b       #新值 = 前两项之和
        a,b = b,v       #a = b, b = v
    return v

for n in range(1,121):  #121确保数值列表包括120
    print("month:",n,"rabbits:",fibonacci(n))

执行结果：

month: 1 rabbits: 1
month: 2 rabbits: 1
month: 3 rabbits: 2
...
month: 8 rabbits: 21
...
month: 23 rabbits: 28657
...
month: 38 rabbits: 39088169
...
month: 54 rabbits: 86267571272
...
month: 75 rabbits: 2111485077978050
...
month: 120 rabbits: 5358359254990966640871840

函数fibonacci(n)计算并返回第n个月后的免子对数。计算结果几乎是反直觉的。如果这块新大陆无限大，食物无限丰富，而且没有灰太狼，那么120个月以后，兔子的总对数为：5358359254990966640871840。恭喜成都的朋友们，他们拥有了"永远"也啃不完的麻辣兔头。

上述fibonacci函数值随参数的增长速度极其惊人。在计算复杂性问题上，研究函数的值随参数的增长速度，是有一件有趣的事情。接下来，我们比较一下下述函数以及斐波那契函数随参数的增长速度：

#grow.py
def fibonacci(n):
    if n <= 2:
        return 1
    a,b = 1,1           #最近两项的值，a为前前项，b为前项
    for x in range(3,n+1):
        v = a + b       #新值 = 前两项之和
        a,b = b,v       #a = b, b = v
    return v

x = list(range(1,11))           #1..10的数值列表
n2,n3,fn = [],[],[]             #依次为n的平方，n的立方，n值斐波那契
for v in x:                     #依次计算机各函数值
    n2.append(v*v)
    n3.append(v*v*v)
    fn.append(fibonacci(v))

print("n^2=",n2)
print("n^3=",n3)
print("fib(n)=",fn)

from matplotlib import pyplot as plt     #绘图部分
plt.plot(x,n2,color='black',label="$y=n^2#34;)
plt.plot(x,n3,linestyle="-.",color='black',label="$y=n^3#34;)
plt.plot(x,fn,linestyle="--",color='black',label="$y=fibonacci(n)#34;)
plt.legend()
plt.show()

执行结果：

n^2= [1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100]
n^3= [1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000]
fib(n)= [1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55]

上述代码首先生成了一个x列表，其值为[1,2,3,4,5,6,7,8,9,10]；然后对x列表每一个值，逐一计算其平方，立方及斐波那契函数的值。最后使用matplotlib将四个函数绘制出来。matplotlib是一个绘图用的扩展模块，需要通过在命令行中执行pip install matplotlib进行安装。

下图展示了参数取值1-10时，3个函数的增长曲线图：

看起来，n3增长较快，n2和fibonacci(n)增长较慢。这不是事实！ 我们把参数取值范围扩大到1-30，重新绘图，结果如下：

可以看到，斐波那契函数的增长曲线昂首挺胸，而n平方以及n立方在该尺度下，几乎趴在了地上。读者可以自行试验一下x取值1-100的情况。

相对于斐波那契函数，n3的增长速度实在是太慢了。从数学上讲，斐波那契函数与n3都是n趋近于无穷大时的无穷大，但显而易见，斐波那契函数拥有更高的阶。

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