如何使用python脚本模拟宇宙中的双星系统?

一个双星系统看上去相当酷，如果有两颗恒星通过引力相互作用，你想确定它们的精确位置状态，就需要处理六个坐标变量（每颗恒星各占三个）。尽管这个问题可以通过简化为等效的一维问题来解决，但今天我们关注的焦点并不在此。我们今天的重点是探讨一个稳定的双星轨道需要满足哪些初始条件，并且还会介绍如何在Python中模拟这样的双星系统，让我们开始吧！

初始条件

假设在太空存在有两个恒星组成（单星的双星系统是不存在的），并且A恒星的质量是B恒星质量的两倍，并且它们之间的距离为r。基于这个设定，我有以下要求：

• 双星系统的质心恰好位于一个我我选择的任意点上（这样设定仅出于方便）；
• 质心的动量为零，即质心保持静止；
• 恒星之间的轨道是圆形的。

首先是质心，我把质量为2M的星星放置在X负轴上，然后将质量为1M的星星放置在X正轴上，如下图所示：

质心所在位置可用下面的公式计算：

我们将系统的质心位置设定为坐标系的原点。即(0,0,0)，考虑到两个星星都位于X轴上，我们只需计算它们在X轴上的位置。同时，别忘了我们知道两颗星星之间的距离为r，即：

这个方程组中涉及到了两个未知数x1，x2，求解上述方程组得到：

如果我们设定一个任意的距离长度作为单位距离，那么质量的恒星1的x坐标将是-1单位。而恒星2的x坐标则是2单位。这样的设置可以确保系统的质心恰好位于坐标原点。

接下来，考虑一下质心的动量情况。根据质心的定义，质心的动量是两颗恒星动量的总和。

在这种特定情况下，我们可以把动量视为质量与速度的乘积。因此，如果质心的动量是零（即一个零向量），那么两颗恒星的动量必须是等大且反向的。这意味着我只需确定其中一颗恒星的速度（及动量），就能求出另外一颗恒星的速度。

当然，两颗恒星理论上可以以任何速度开始移动，但我们不能随意选择一个速度。我们需要的是一个能够沿着圆形轨道以稳定速度运行的天体。如下图所示，

这两颗恒星都在做圆周运动，为什么呢？因为重力，这种力的大小可以通过如下公式来计算。

这个公式计算了力的大小，且方向指向另外一颗恒星。而且这两颗恒星所受的重力完全相同，只是方向相反而已，这里我用力的标量形式来表示，以简化问题。这个示例中，r代表恒星1到恒星2的距离，G代表万有引力常数。

那么，力对物体会产生什么效果呢？净力将会导致物体加速。因为加速度是速度变化的速率，并且速度是一个向量，所以即便以恒定速度沿圆周运动的物体也会产生加速度。这就是所谓的向心加速度。现在，让我们计算下恒星1（质量为2M的恒星）的向心加速度。

这就是恒星1的加速度大小，加速度的大小朝向圆心，这与引力的方向一致（这是个关键点）。然而，有一点需要注意的是，重力和加速度方向虽然相同，但它们的依赖因素有所不同。引力取决于两颗恒星之间的距离（r），而加速度则取决于轨道半径，这两是不同的概念。

现在我们结合这两方面来看，根据牛顿第二定律，净力等于质量乘以加速度，这里，它是一个标量方程，因为此处只涉及一个力，并且该力的方向与加速度的方向一致，这就是恒星1的基本情况。

求解后得到：

因为我们已经找到r1的值（从质心开始）。这意味着恒星1的速度为：

使用python构建双星系统

在本项目中，我们将使用 VPython 来构建一个双星系统，因为它自带一些强大的功能，能够有效的可视化物体的运动。

我们的目标是模拟两颗恒星在三维空间中的运动。因此我们首先需要考虑它们的动量和位置，这些都是在三维空间中不断变化的。此外，作用在恒星上的力也是三维的。这个系统中有很多复杂的相互作用。更加复杂的是，这些力也不是恒定的。即便恒星在圆形轨道上运动的简单情况，引力的方向也是变化的。这使得问题更加棘手。

这种情况下，数值计算就显得很重要了，这种方法的核心思想就是将整个过程分解为一系列较短的时间段。在每个时间段内，我们可以假设作用力是恒定的，然后用这个假设来计算该时间段末恒星的动量和位置。然后，我们对下一个时间段重复这个过程。由于这涉及大量的重复计算，我们通常会让计算机来完成这些任务。

下面是我将要遵循的基本步骤：

• 从初始条件出发
• 计算恒星的位置向量r
• 使用r来计算恒星的引力
• 利用这个力来更新两个恒星的动量
• 使用动量来更新恒星的位置
• 重复上述步骤，直到你停止为止

我们首先需要考虑的是合适的时间间隔长度。比如，一个球在一个房间内被扔出去，我可能会选择在0.01s来测量它的位置。但是对于一颗恒星而言，它的移动距离非常遥远，即使它的速度非常快，用0.01秒作为测量间隔，它看起来几乎没有移动。因此，我们需要一个更长的时间间隔，我们可以试试用1000秒作为时间间隔，如果，你觉得时间间隔不合适，你可以选择其他的数值。

下面给出运行模拟双星系统运行的部分程序代码：

程序说明：

• 4～6行定义了引力常量，星体的质量，星体间的距离；
• 第11行计算矢量的位置；
• 9～16行创建了两颗恒星（有质量）和质心；
• 21行涉及计算环绕圆形轨道的恒星1的速度。速度本质是一个向量量；
• 24行：恒星2的动量与恒星1的动量相反。

让我们看看，使用python代码构建的双星系统的运行效果吧！

想完整的模拟双星系统运行的python代码，可以关微信公众号“无线理论”，并回复关键词“双星系统”即可，