4.3 解方程

Sympy的solve()函数也可以用来求解方程。当你输入一个代表变量（比如x）的符号的表达式时，solve()函数可以计算出该符号的值。该函数总是通过假设输入的表达式为0来计算。也就是说，将结果值代入表达式，整个表达式的结果为0。让我们首先从简单的方程x - 5 = 7开始。如果我们想用solve()求出x的值，我们首先要使方程的一边等于0（x - 5 - 7 = 0）。然后我们准备使用solve()，如下：

 >>> from sympy import Symbol, solve
 >>> x = Symbol('x')
 >>> expr = x - 5 - 7
 >>> solve(expr)
 [12]

使用solve()函数计算出x的值为12，因为它使得表达式（x - 5 - 7）对于零。

注意，结果12是以列表形式返回的。一个方程可能存在多个解。例如，一个一元二次方程有两个解。在这种情况下，该列表报表将包含所有的解。也可以让solve()函数以Python字典的形式返回结果，每个字典包含符号（变量名）和对应的值（解）。在求解联立方程组时，这一点尤其有用，因为我们有一个以上的变量要进行求解，当解作为字典返回时，我们知道哪一个解对应于哪一个变量。

4.3.1 解二次方程

在第一章中，我们通过公式求二次方程的两个根，然后代入常数a、b、c的值，下面学习在不需要写出公式的情况下，如何使用Sympy的solve()函数找到根。我们来看一个例子：

 >>> from sympy import solve
 >>> x = Symbol('x')
 >>> expr = x**2 + 5*x + 4
 >>> solve(expr, dict=True)
 [{x: -4}, {x: -1}]

首先导入solve()函数，然后定义一个符号对象给x指代。然后定义一个方程表达式，x**2 + 5*x +4。然后调用solve()函数进行求解，传入的参数为求解方程和（dict=True）指定将结果以列表形式返回，其中每个元素都是Python字典。

将符号作为键，将与键相应的值作为解，返回列表中的每个解都是一个字典。如果方程无解，则返回空列表。上述我们可以看到，方程的解为-4和-1。

我们在第一章中发现，方程x**2+x+1 = 0的根为复数。我们使用solve()函数再来求解：

 >>> expr = x**2 + x + 1
 >>> solve(expr, dict=True)
 [{x: -1/2 - sqrt(3)*I/2}, {x: -1/2 + sqrt(3)*I/2}]

可以看到两个根都是复数，如预期一样，其中虚部用符号I表示。

4.3.2 使用其他变量求解一个变量

除了找到方程的根，我们还可以使用符号数学的优势，通过solve()函数将方程中的一个变量使用其他变量来表示。通过求解二次方程的根来试试，我们将定义x和额外的三个符号a、b和c，来分别表示这三个常量。

 >>> from sympy import symbols,solve
 >>> x, a, b, c = symbols(['x', 'a', 'b', 'c'])

接下来，我们写出方程的表达式，并使用solve()函数求解：

 >>> expr = a*x**2 + b*x + c
 >>> solve(expr, x, dict=True)
 [{x: (-b + sqrt(-4*a*c + b**2))/(2*a)}, {x: -(b + sqrt(-4*a*c + b**2))/(2*a)}]

这里，solve()函数还需要i一个额外的参数x，因为方程中不止一个符号，我们需要告诉solve()函数应该计算出哪个符号，这通过指定符号作为第二个参数来实现。正如我们希望的，solve()函数输出了二次公式：在多项式中求解x的一般公式。

明确来说，当我们使用solve()函数求解包含多个符号的方程时，通过指定要求解的符号作为第二个参数来实现（此时第三个参数为我们需要返回指定的结果的形式）。

接下来，我们来考虑一个物理学的例子。由运动方程可知，物体移动的距离由加速度a、初速度u和时间t决定，公式如下：

然而，给定u和a，如果你想计算物体运动了给定距离所需要的时间，你必须首先用其他变量来表示t。下面是如何使用Sympy的solve()函数求解所需时间的方式：

 >>> from sympy import symbols, solve, pprint
 >>> x, s, a, u, t = symbols(['x', 's', 'a', 'u', 't'])
 >>> expr = u*t + (1/2)*a*t**2 - s
 >>> t_expr = solve(expr, t, dict=True)
 >>> pprint(t_expr)

结果显示如下：

现在，我们得到了t的表达式（由标签t_expr指代），我们可以通过subs()函数代入s、u和a的值，并得到t的两个可能值。

4.3.3 解线性方程组

考虑下面两个方程：

假设我们要找到同时满足这两个方程的一堆值（x，y），可以通过solve()函数实现。

首先，我们定义两个符号并创建两个方程：

 >>> x, y = symbols(['x', 'y'])
 >>> expr1 = 2*x + 3*y - 6
 >>> expr2 = 3*x + 2*y - 12

两个方程分别由表达式expr1和expr2定义，注意需要重新排列表达式，使他们都等于0。为了求解，我们将两个表达式构成的元组作为参数，调用solve()函数：

 >>> solve((expr1, expr2), dict=True)
 [{x: 24/5, y: -6/5}]

正如前面提到的，方程的解作为一个字典返回在这里非常有用。我们可以看到x的值是24/5，y的值是-6/5。让我们来验证得到的解是否真的满足方程组。首先创建一个标签soln，以指代我们求得的解，再使用subs()函数将x和y代入表达式：

 >>> soln = solve((expr1, expr2), dict=True)
 >>> soln = soln[0]
 >>> expr1.subs({x:soln[x], y:soln[y]})
 0
 >>> expr2.subs({x:soln[x], y:soln[y]})
 0

两个表达式代入x和y后得到的结果都是零。