数学家卢萨·帕乔利在1509年出版的《神圣比例》一书中，收录了莱昂纳多·达·芬奇绘制的五种正多面体。

正四面体（有4个三角形面）：

立方体（有6个正方形面）：

正八面体（有8个三角形面）：

正十二面体（有12个五边形面）：

正二十面体（有20个三角形面）：

柏拉图曾在《蒂迈欧篇》一书中描述过这些立体图形，所以被称为“柏拉图多面体”。欧几里得在《几何原本》当中证明了正多面体只有五种。

五种正多面体满足多面体欧拉公式：面数+顶点数－棱数=2。我们将在本章结尾，使用多组三维向量绘制出五种正多面体。

三维向量

三维空间相对于二维平面，除了保留轴和轴，新增测量高度的轴：

类似使用有序对和箭头表示二维向量，我们可以使用三元数和箭头表示三维向量：

绘制三维向量

1.绘制三个点

#绘制三个点
three_dim_vectors=[(1,1,1),(-1,1,1),(1,-1,1)]

draw3d(Points3D(three_dim_vectors))

绘制效果图：

2.绘制箭头

three_dim_vectors=[(1,1,1),(1,-1,-1)]

draw3d(
    Points3D(three_dim_vectors),
    Arrow3D(tail=(0, 0, 0),tip=(1,1,1)),
    Arrow3D(tail=(0, 0, 0),tip=(1,-1,-1)),
   )

绘制效果图：

3.绘制虚线框

three_dim_vectors=[(1,1,1),(1,-1,-1)]

draw3d(
    Points3D(three_dim_vectors),
    Arrow3D(tail=(0, 0, 0),tip=(1,1,1)),
    Arrow3D(tail=(0, 0, 0),tip=(1,-1,-1)),
    Box3D((1,1,1)),
    Box3D((1,-1,-1)),
   )

绘制效果图：

三维向量运算

与二维向量类似，三维向量也支持向量运算：向量加减、向量数乘、向量长度等。

1.向量加减

与在二维平面上一样，两个三维向量相加，可以将坐标分别相加，就能得到新向量的坐标，仍然满足平行四边形法则。与二维向量类似，三维向量减法可以看作三维向量加法。

举例：三维向量与相加。

v1,v2=(4,3,1),(-1,1,1)
three_dim_vectors=[v1,v2]
v3=add3d(v1,v2)
three_dim_vectors.append(v3)

draw3d(
    Points3D(three_dim_vectors),
    Arrow3D(tail=(0, 0, 0),tip=v1),
    Arrow3D(tail=(0, 0, 0),tip=v2),
    Arrow3D(tail=(0, 0, 0),tip=v3,color=blue),
    Line3D(v1,v3,color=red),
    Line3D(v2,v3,color=red),
   )

绘制效果图：

2.向量数乘

将三维向量乘以标量，就是把其所有分量乘以标量系数。与二维向量类似，三维向量的数乘运算，会将向量（包括：向量的分量）按给定的系数进行缩放。

v1=(1,1,1)
v2=scale3d(v1,2)
three_dim_vectors=[v1,v2]
draw3d(
    Points3D(three_dim_vectors),
    Arrow3D(tail=(0, 0, 0),tip=v2,color=blue),
    Arrow3D(tail=(0, 0, 0),tip=v1),
    Box3D(v1),
    Box3D(v2),
   )

绘制效果图：

3.向量长度

与二维向量类似，两次应用勾股定理可以计算三维向量长度。

解决问题

1.绘制一个正四面体

4个顶点，6条边，4个面

#绘制正四面体
from math import sin,cos,acos,tan,pi,sqrt,atan2,radians,degrees
a=4
print(sin(radians(30)))
distance=(tan(radians(60))-tan(radians(30)))*(a/2)
#4个顶点
vertexs=[(a/2,tan(radians(30))*(a/2),0),
         (-a/2,tan(radians(30))*(a/2),0),
         (0,-distance,0),
         (0,0,sqrt(a**2-distance**2))]
#6条边
edges=[(vertexs[i],vertexs[(j+1)%len(vertexs)])
       for i in range(len(vertexs)) for j in range(i,len(vertexs))
       if (j+1)%len(vertexs) != i
       ]

draw3d(
    Points3D(vertexs),
    *[Line3D(edge[0], edge[1]) for edge in edges]
)

绘制效果图：

2.绘制一个正六面体

8个顶点，12条边，6个面

• 二阶、三阶魔方是正六面体。

#绘制正六面体
v=[1,-1]
#8个顶点
vertexs=[(x,y,z) for x in v for y in v for z in v]
#12条边
#相对于x轴的4条边+相对于y的4条边+相对于z轴的4条边
edges=[[(1,y,z),(-1,y,z)] for y in v for z in v]+ \
      [[(x,1,z),(x,-1,z)] for x in v for z in v]+ \
      [[(x,y,1),(x,y,-1)] for x in v for y in v]

draw3d(
    Points3D(vertexs),
    *[Line3D(edge[0],edge[1]) for edge in edges]
)

绘制效果图：

3.绘制正八面体

6个顶点，12条边，8个面

• 钻石晶体、萤石晶体、尖晶石晶体等，常见八面体晶体形态。

#绘制正八面体
v=[1,-1]
#6个顶点
vertexs=[(x,0,0) for x in v]+ \
        [(0,y,0) for y in v] + \
        [(0,0,z) for z in v]
#12条边
edges= [[(1,0,0),(x,y,z)] for x,y,z in vertexs if x==0]+ \
       [[(-1,0,0),(x,y,z)] for x,y,z in vertexs if x==0]+ \
       [[(0,1,0),(x,y,z)] for x,y,z in vertexs if y==0]+ \
       [[(0,-1,0),(x,y,z)] for x,y,z in vertexs if y==0]+ \
       [[(0,0,1),(x,y,z)] for x,y,z in vertexs if z==0]+ \
       [[(0,0,-1),(x,y,z)] for x,y,z in vertexs if z==0]
print(edges)

draw3d(
    Points3D(vertexs),
    *[Line3D(edge[0],edge[1]) for edge in edges]
)

绘制效果图：

4.绘制正十二面体

20个顶点、30条边，12面

• 哈密顿路径的理论源自一个和正十二面体有关的问题：试求一条路径，沿正十二面体的棱经过它所有的顶点。
• Pariacoto病毒的形状结构是正十二面体。
• 五魔方是正十二面。
• 硫化铁结晶体有时会出现接近正十二面体的形状。
• 最小的富勒烯C20结构如正十二面体。

#若以正十二面体的中心为(0,0,0)，各顶点的坐标为
#{(0,±1/a,±a), (±1/a,±a,0), (±a,0,±1/a), (±1,±1,±1)}，
#其中黄金分割数:a = (-1+√5)/2
from math import sqrt,sin,cos,fabs
#向量减法
def subtract3d(v1,v2):
    return (v1[0]-v2[0],v1[1]-v2[1],v1[2]-v2[2])
#向量的长度
def length3d(v1):
    return sqrt(v1[0]**2+v1[1]**2+v1[2]**2)
#计算向量距离：
def distance3d(v1,v2):
    return length3d(subtract3d(v1,v2))

#传入顶点，遍历顶点，找到所有边的坐标,类似于图的顶点遍历
def edges(vertexs):
    #先固定一个点，找到该点跟其他所有点的距离
    point=vertexs[0]
    #最小长度
    min_dist=1000000000
    for i in range(1,len(vertexs)):
        current_min_dist=distance3d(point,vertexs[i])
        if current_min_dist<min_dist:
            min_dist=current_min_dist
    print(min_dist)
    #遍历点，找到距离相等的相邻点，然后剔除当前点
    edges=[]
    for i in range(len(vertexs)):
        current_point=vertexs[i]
        for j in range(len(vertexs)):
            #排除掉当前点
            if i==j:
               continue
            current_min_dist = distance3d(current_point, vertexs[j])
            #如果等于最小距离，说明是相邻点
            if fabs(min_dist-current_min_dist) <=0.001:
                edges.append([current_point,vertexs[j]])
    print("edges:",len(edges))
    return edges

#20个顶点
v=[1,-1]
a = (-1+sqrt(5))/2
vertexs=[(0,(1/a)*y,a*z) for y in v for z in v]+ \
        [((1/a)*x, a*y, 0) for x in v for y in v] + \
        [(a*x, 0, (1/a)*z) for x in v for z in v] + \
        [(x,y,z) for x in v for y in v for z in v]

edges=edges(vertexs)
draw3d(
    Points3D(vertexs),
    *[Line3D(edge[0],edge[1]) for edge in edges]
)

绘制效果图：

5.绘制正二十面体

12个顶点，30条边，20个面

• 甲肝病毒、乙肝病毒形状结构是正二十面体。正二十面的病毒种类比较多，主要是这种结构比较适合病毒的生存环境，体积小表面积大，方便从宿主那儿汲取能量，又有一定的稳定性，不易变形。
• 可燃冰（天然气水合物）中存在水分子形成的正十二面体笼状结构，把甲烷分子包在中间。

#若正二十面体的中心为(0,0,0)，外接球半径为1，各顶点的坐标为{(±m,0,±n), (0,±n,±m), (±n,±m,0)}
v=[1,-1]
m,n=(sqrt(50-10*sqrt(5))/10),(sqrt(50+10*sqrt(5))/10)
#12个顶点
vertexs=[(m*x,0,n*z) for x in v for z in v]+ \
        [(0,n*y,m*z) for y in v for z in v] + \
        [(n*x,m*y,0) for x in v for y in v]
edges=edges(vertexs)
draw3d(
    Points3D(vertexs),
    *[Line3D(edge[0],edge[1]) for edge in edges]
)

绘制效果图：