复数的数学运算

学习《Python Cookbook》第三版

你写的最新的网络认证方案代码遇到了一个难题，并且你唯一的解决办法就是使用复数空间。再或者是你仅仅需要使用复数来执行一些计算操作。

复数可以用使用函数 complex(real, imag) 或者是带有后缀 j 的浮点数来指定。比如：

a = complex(2, 3)
b = 3 - 6j

print(a)	# "(2+3j)"
print(b)	# "(3-6j)"

对应的实部、虚部和共轭复数可以很容易的获取。就像下面这样：

print(a.real)	# "2.0"
print(a.imag)	# "3.0"
print(a.conjugate())	# "(2-3j)"

另外，所有常见的数学运算都可以工作：

print(a + b)	# "(5-3j)"
print(a - b)	# "(-1+9j)"
print(a * b)	# "(24-3j)"
print(a / b)	# "(-0.26666666666666666+0.4666666666666667j)"
print(abs(a))	# "3.605551275463989"

如果要执行其他的复数函数比如正弦、余弦或平方根，使用 cmath 模块：

import cmath
print(cmath.sin(a))	# "(9.15449914691143-4.168906959966565j)"
print(cmath.cos(a))	# "(-4.189625690968807-9.109227893755337j)"
print(cmath.exp(a))	# "(-7.315110094901103+1.0427436562359045j)"

Python 中大部分与数学相关的模块都能处理复数。比如如果你使用 numpy ，可以很容易的构造一个复数数组并在这个数组上执行各种操作：

import numpy as np

np_a = np.array([2+3j, 2-5j, 8+9j])
print(np_a)	# "[2.+3.j 2.-5.j 8.+9.j]"
print(np_a + 2)	# "[ 4.+3.j  4.-5.j 10.+9.j]"
print(np.sin(np_a))	# "[   9.15449915  -4.16890696j   67.47891524 +30.87943134j  4008.42651446-589.49948373j]"

Python 的标准数学函数确实情况下并不能产生复数值，因此你的代码中不可能会出现复数返回值。

如果你想生成一个复数返回结果，你必须显示的使用 cmath 模块，或者在某个支持复数的库中声明复数类型的使用。比如：

import math
import cmath

# print(math.sqrt(-1))	# 报错 ValueError: math domain error
print(cmath.sqrt(-1))	# "1j"

我们把形如z=a+bi（a,b均为实数）的数称为复数，其中a称为实部，b称为虚部，j称为虚数单位。当z的虚部等于零时，常称z为实数；当z的虚部不等于零时，实部等于零时，常称z为纯虚数。

加法法则

复数的加法法则：设z1=a+bj，z2=c+dj是任意两个复数。两者和的实部是原来两个复数实部的和，它的虚部是原来两个虚部的和。两个复数的和依然是复数。

即 (a + bj) +(c + dj) = (a + c) + (b + d)j

减法法则

两者和的实部是原来两个复数实部的和，它的虚部是原来两个虚部的和。两个复数的和依然是复数。

即 (a + bj) +(c - dj) = (a - c) + (b - d)j

乘法法则

复数的乘法法则：把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，结果中i2= -1，把实部与虚部分别合并。两个复数的积仍然是一个复数。

即 (a + bj) * (c - dj) = (ac - bd) + (bc + ad)j

除法法则

运算方法：将分子和分母同时乘以分母的共轭复数，再用乘法法则运算，即

NumPy(Numerical Python) 是 Python 语言的一个扩展程序库，支持大量的维度数组与矩阵运算，此外也针对数组运算提供大量的数学函数库。