异或的魅力!图解「数组中两个数的最大异或值」

今天分享的题目来源于 LeetCode 第 421 号问题：数组中两个数的最大异或值。在 异或 这个知识点里面属于一个中高难度的题目。

题目描述

给定一个非空数组，数组中元素为 a₀, a₁, a₂, … , a_n-1，其中 0 ≤ ai < 2³¹ 。

找到 a_i 和 a_j 最大的异或 (XOR) 运算结果，其中0 ≤ i, j < n 。

你能在 O(n) 的时间解决这个问题吗？

示例:

输入: [3, 10, 5, 25, 2, 8]
输出: 28
解释: 最大的结果是 5 ^ 25 = 28.

题目解析

解决这个问题，我们首先需要利用异或运算的一个性质：

如果 a ^ b = c 成立，那么a ^ c = b 与 b ^ c = a 均成立。

即如果有三个数，满足其中两个数的异或值等于另一个值，那么这三个数的顺序可以任意调换。

• 那么如何理解这个性质呢？因为异或运算其实就是二进制下不进位的加法，你不妨自己举几个例子，在草稿纸上验证一下。

那这个性质如何应用到本题呢？

这道题找最大值的思路是这样的：因为两两异或可以得到一个值，在所有的两两异或得到的值中，一定有一个最大值，我们推测这个最大值应该是什么样的？即根据“最大值”的存在性解题（一定存在）。在这里要强调一下：

我们只用关心这个最大的异或值需要满足什么性质，进而推出这个最大值是什么，而不必关心这个异或值是由哪两个数得来的。

（上面这句话很重要，如果读者一开始看不明白下面的思考，不妨多看几遍我上面写的这句话。）

于是有如下思考：

1、二进制下，我们希望一个数尽可能大，即希望越高位上越能够出现“1”，这样这个数就是所求的最大数，这是贪心算法的思想。

2、于是，我们可以从最高位开始，到最低位，首先假设高位是 “1”，把这 n 个数全部遍历一遍，看看这一位是不是真的可以是“1”，否则这一位就得是“0”，判断的依据是上面“异或运算的性质”，即下面的第 3 点；

3、如果 a ^ b = max 成立 ，max 表示当前得到的“最大值”，那么一定有 max ^ b = a 成立。我们可以先假设当前数位上的值为 “1”，再把当前得到的数与这个 n 个数的 前缀（因为是从高位到低位看，所以称为“前缀”）进行异或运算，放在一个哈希表中，再依次把所有 前缀 与这个假设的“最大值”进行异或以后得到的结果放到哈希表里查询一下，如果查得到，就说明这个数位上可以是“1”，否则就只能是 0（看起来很晕，可以看代码理解）。

一种极端的情况是，这 n 个数在某一个数位上全部是 0 ，那么任意两个数异或以后都只能是 0，那么假设当前数位是 1 这件事情就不成立。

4、如何得到前缀，可以用掩码（mask），掩码可以进行如下构造，将掩码与原数依次进行“与”运算，就能得到前缀。

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以题目中的数组 [3, 10, 5, 25, 2, 8] 为例，下面讲解这个最大的两两异或值是如何得到的，这里为了方便演示，只展示一个数二进制的低 8 位。

图片演示

LeetCode 第 421 题：数组中两个数的最大异或值-1

LeetCode 第 421 题：数组中两个数的最大异或值-2

LeetCode 第 421 题：数组中两个数的最大异或值-3

LeetCode 第 421 题：数组中两个数的最大异或值-4

LeetCode 第 421 题：数组中两个数的最大异或值-5

LeetCode 第 421 题：数组中两个数的最大异或值-6

代码实现

Python 代码：

class Solution:
 def findMaximumXOR(self, nums: List[int]) -> int:
 res = 0
 mask = 0
 for i in range(31, -1, -1):
 mask |= (1 << i)
 # 当前得到的所有前缀都放在这个哈希表中
 s = set()
 for num in nums:
 s.add(mask & num)
 # 先“贪心地”假设这个数位上是 “1” ，如果全部前缀都看完，都不符合条件，这个数位上就是 “0” 
 temp = res | (1 << i)
 for prefix in s:
 if temp ^ prefix in s:
 res = temp
 break
 return res

Java 代码：

import java.util.HashSet;
import java.util.Set;
public class Solution {
 // 先确定高位，再确定低位（有点贪心算法的意思），才能保证这道题的最大性质
 // 一位接着一位去确定这个数位的大小
 // 利用性质：a ^ b = c ，则 a ^ c = b，且 b ^ c = a
 public int findMaximumXOR(int[] nums) {
 int res = 0;
 int mask = 0;
 for (int i = 31; i >= 0; i--) {
 // 注意点1：注意保留前缀的方法，mask 是这样得来的
 // 用异或也是可以的 mask = mask ^ (1 << i);
 mask = mask | (1 << i);
 // System.out.println(Integer.toBinaryString(mask));
 Set<Integer> set = new HashSet<>();
 for (int num : nums) {
 // 注意点2：这里使用 & ，保留前缀的意思（从高位到低位）
 set.add(num & mask);
 }
 // 这里先假定第 n 位为 1 ，前 n-1 位 res 为之前迭代求得
 int temp = res | (1 << i);
 for (Integer prefix : set) {
 if (set.contains(prefix ^ temp)) {
 res = temp;
 break;
 }
 }
 }
 return res;
 }
 public static void main(String[] args) {
 int[] nums = {3, 10, 5, 25, 2, 8};
 Solution2 solution2 = new Solution2();
 int maximumXOR = solution2.findMaximumXOR(nums);
 System.out.println(maximumXOR);
 }
}

复杂度分析

• 时间复杂度：()，把整个数组看了 32次，即 (32)=()。
• 空间复杂度：(1)，使用了一个哈希表，这个哈希表最多存 32 个前缀，(32)=(1)。