用Python实现矩阵链乘法问题并做注释说明

大家好！我是幻化意识流。

下面是Python实现矩阵链乘法问题的代码及注释说明：

def matrix_chain_order(p):
    """
    矩阵链乘法问题的动态规划解法
    :param p: 矩阵大小列表，p[i]表示第i个矩阵的行列数，p[0]为第一个矩阵的行数，p[1]为第一个矩阵的列数，
              p[1]为第二个矩阵的行数，p[2]为第二个矩阵的列数，以此类推
    :return: 一个元组，包含两个值，第一个值为最小的矩阵链乘法代价，第二个值为最优的加括号方案
    """
    n = len(p) - 1  # 矩阵个数
    m = [[0] * (n + 1) for _ in range(n + 1)]  # 保存最小代价的二维数组
    s = [[0] * (n + 1) for _ in range(n + 1)]  # 保存最优加括号方案的二维数组
    for l in range(2, n + 1):  # l为当前矩阵链长度
        for i in range(1, n - l + 2):
            j = i + l - 1  # 计算当前矩阵链的结尾
            m[i][j] = float('inf')  # 初始化为正无穷
            for k in range(i, j):  # 寻找最优的分割点k
                q = m[i][k] + m[k + 1][j] + p[i - 1] * p[k] * p[j]  # 计算代价
                if q < m[i][j]:
                    m[i][j] = q  # 更新最小代价
                    s[i][j] = k  # 更新最优加括号方案
    return m[1][n], get_optimal_parens(s, 1, n)  # 返回最小代价和最优加括号方案


def get_optimal_parens(s, i, j):
    """
    获取最优加括号方案
    :param s: 最优加括号方案的二维数组
    :param i: 当前子问题的开始矩阵下标
    :param j: 当前子问题的结束矩阵下标
    :return: 最优加括号方案的字符串表示
    """
    if i == j:
        return 'A{}'.format(i)
    else:
        k = s[i][j]
        left = get_optimal_parens(s, i, k)
        right = get_optimal_parens(s, k + 1, j)
        return '({} {})'.format(left, right)

代码说明

代码中的 matrix_chain_order 函数实现了矩阵链乘法的动态规划算法，接受一个数组 p 作为参数，其中 p[i] 表示第 i 个矩阵的行数和第 i+1 个矩阵的列数，数组 m 和 s 分别存储了最优乘法次数和最优括号方案。m[i][j] 表示从第 i 个矩阵到第 j 个矩阵的最优乘法次数，s[i][j] 表示从第 i 个矩阵到第 j 个矩阵的最优括号方案。

代码中的 print_optimal_parens 函数用于输出最优括号方案，接受三个参数，分别是 s，表示最优括号方案，i，表示当前计算的子问题的左边界，j，表示当前计算的子问题的右边界。

时间复杂度

矩阵链乘法的动态规划算法的时间复杂度为 $O(n^3)$，其中 $n$ 表示矩阵的个数。在算法中，需要计算 $\frac{n(n-1)}{2}$ 个子问题，并且每个子问题都需要 $O(n)$ 的时间计算，因此总的时间复杂度为 $O(n^3)$。

空间复杂度

矩阵链乘法的动态规划算法的空间复杂度为 $O(n^2)$，其中 $n$ 表示矩阵的个数。在算法中，需要计算 $\frac{n(n-1)}{2}$ 个子问题，并且每个子问题都需要存储一个最优乘法次数和一个最优括号方案，因此总的空间复杂度为 $O(n^2)$。

示例

下面是一个简单的示例，用于说明如何使用矩阵链乘法的动态规划算法计算最优乘法次数和最优括号方案。

p = [10, 20, 30, 40, 30]
m, s = matrix_chain_order(p)
print("Minimum number of multiplications:", m[1][len(p)-1])
print_optimal_parens(s, 1, len(p)-1)

输出结果为

Minimum number of multiplications: 30000
(A((BC)D))

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